పై విలువని సూచించే పద్యం
క్రీ.శ. 950 ప్రాంతానికి చెందిన రెండవ ఆర్యభట్టు గణితంలో, జ్యోతిషంలో ఆరితేరినవాడు. ఖగోళ, గణిత శాస్త్రాల మీద ఇతడు ’మహాఆర్య సిద్ధాంతం’ అనే పుస్తకం రచించాడు. ఇందులో అక్షరాలతో, పద్యాలలో సంఖ్యలని వ్యక్తం చెయ్యడానికి ఇతడు ఓ చక్కని పద్ధతి సూచించాడు. దానికి "కటపయాది" పద్ధతి అని పేరు. ఈ పద్ధతిలో ప్రతీ హల్లుకి ఒక సంఖ్య విలువ ఈ విధంగా ఇవ్వబడుతుంది.
క, ట, ప, య = 1 ; ఖ, ఠ, ఫ, ర = 2
గ, డ, బ, ల = 3; ఘ, ఢ, భ, వ = 4
జ, ణ, మ, శ = 5; చ, త, ష = 6
ఛ, థ, స = 7; జ, ద, హ = 8
ఝ, ధ = 9; ఞ్, న = 0
హల్లుకి, అచ్చు ఏది చేరినా హల్లు విలువ మారదు.
ఉదాహరణకి క, కా, కి, కీ, మొదలైన వాటన్నిటి విలువ 1 మాత్రమే.
ఈ పద్ధతి ప్రకారం ’పై’ విలువ ఈ కింది సంస్కృత పద్యంలో పొందుపరచబడి ఉంది.
గోపీ భాగ్య మధువ్రాత శృఞ్గి శోదరి సంధిగ
ఖల జీవిత ఖాతావగల హాలార సంధర ||
ఈ పద్యాన్ని కృష్ణుడి పరంగాను, శివుడి పరంగాను కూడా చెప్పుకోవచ్చట. సంస్కృతం తెలిసిన వారు కొంచెం ఈ పద్యం అర్థం (అర్థాలు) చెప్పగలరు.
కటపయాది పద్ధతిలో హల్లుల విలువలని పై పద్యంలో అక్షరాలకి వర్తింపజేస్తే వచ్చే సంఖ్య...
3141592653589793 (మొదటి పాదం)
2384626433832792 (రెండవ పాదం)
(ఆధునిక ’పై’ విలువ (31 దశాంశ స్థానాల వరకు) =
3.141592653589793238462643
http://ja0hxv.calico.jp/
31 వ దశాంశ స్థానం లో మాత్రమే ఆధునిక విలువకి, ఆర్యభట్టు ఇచ్చిన విలువకి మధ్య తేడా ఉందని గమనించగలరు.)
వెయ్యేళ్ల క్రితం ’పై’ విలువని అన్ని దశాంశ స్థానాల వరకు లెక్కించగలడమే ఒక అద్భుతం! దానికి తోడు ఆ విలువని రెండు అర్థాలు వచ్చే పద్యంలో నిక్షిప్తం చెయ్యడం ఇంకా విచిత్రం!
ఆ పుస్తకంలో ఇలాంటి విశేషాలు ఎన్నో ఉన్నాయట.
మూలం:
ప్రఖ్యా సత్యనారాయణ శర్మ, "గణితభారతి: పరిశోధనాత్మక గ్రంథము" గోల్డెన్ పబ్లిషర్స్, హైదరాబాద్, 1991.
Sin(x) మీద ఓ ప్రాచీన కవిత.
ఆర్యభట్టు కనిపెట్టిన పద్ధతిలో ‘క’ నుండి ‘మ’ వరకు గల అక్షరాలు 1 నుండి 25 వరకు అంకెలకి సంకేతాలు. ఆ తరువాత వచ్చే ‘య, ర, ల, వ, శ, ష, స, హ’ అనే హల్లులు 30,40,50,60,70,80,90,100 అంకెలకి సంకేతాలు.
ఇక ‘అ’ నుండి ‘ఔ’ వరకు గల అచ్చులు దశాంశ స్థానాన్ని నిర్దేశిస్తాయి. అది ఈ విధంగా ఉంటుంది –
అ లేదా ఆ = 100^0 = 1
ఇ లేదా ఈ = 100^1 = 100
ఉ లేదా ఊ = 100^2 =10,000
ఋ లేదా ౠ = 100^3
ఌ లేదా ౡ = 100^4
ఎ, లేదా ఏ = 100^5
ఐ = 100^6
ఒ, లేదా ఓ = 100^7
ఔ = 100^8
ఇలాంటి ప్రతీకాత్మక పద్ధతితో చాల పెద్ద పెద్ద సంఖ్యలని కూడా ఎంతో క్లుప్తంగ వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
కొన్ని ఉదాహరణలు –
హల్లు ‘క’ = 1, అచ్చు ‘ఇ’ = X 100. కనుక ‘క, ఇ ల కలయిక వల్ల ఏర్పడ్డ ‘కి’ = 1 X 100 = 100.
హల్లు ‘గ’ = ౩, అచ్చు ‘ఉ’ = X 10^4 = 10,000. కనుక ‘గ, ఉ’ ల కలయిక వల్ల ఏర్పడ్డ ‘గు’ = 3X 10,000 = 30,000.
అంటే ‘హల్లు’, ‘అచ్చు’ కలిసినప్పుడు రెండిటి విలువలని గుణించాలన్నమాట.
కాని రెండు హల్లులు వరుసగా వచ్చినప్పుడు రెండిటి విలువలని కలపాలి. రెండు హల్లుల తరువాత అచ్చు వచ్చినప్పుడు హల్లుల విలువలని కలిపి అచ్చు విలువతో గుణించాలి.
కొన్ని ఉదాహరణలు –
గ = 3, న = 20, ఉ = 10,000. కనుక
గ్ను = (3 + 20) X 10,000 = 23,000
ఆ విధంగా ఒక్క అక్షరంతో అంత పెద్ద సంఖ్యని వ్యక్తం చెయ్యడానికి వీలయ్యింది.
మరో ఉదాహరణ,
ఖ్యుఘృ = (ఖ + య + ఉ + ఘ్ + ఋ) = (2 + 30)X10,000 + 4 X 100X100X100 = 4,320,000
రెండక్షరాల పదంతో ఏడు అంకెల సంఖ్యని వ్యక్తం చెయ్యడానికి వీలయ్యింది. ప్రాచీన భారత కాలమానం ప్రకారం ఈ సంఖ్య ఒక మహాయుగంలో మొత్తం సంవత్సరాల సంఖ్య.
ఈ రకమైన సంఖ్యా పద్ధతిని ఉపయోగించి ఆర్యభట్టు sin(x) ప్రమేయానికి పట్టికలు ఇచ్చాడు.
పదాలతో సైన్ పట్టిక -
Sin(x) ప్రమేయాన్ని జ్యామితి బద్ధంగా ఈ కింద చూపించిన లంబకోణం త్రిభుజంలో సూచించొచ్చు. త్రిభుజంలో లంబ కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న భుజం (కర్ణం) విలువ 1 అనుకుంటే, x అనే కోణానికి ఎదురుగా ఉండే భుజం యొక్క పొడవే sin(x) విలువ.
లంబ కోణ త్రిబుజం పరంగా కాకుండా వృత్తం పరంగా కూడా sin(x) ని వ్యక్తం చెయ్యొచ్చు.
కింద కనిపిస్తున్న చిత్రంలో వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత లోని ఒక భాగాన్ని ‘చాపం’ (arc) అంటారు. చాపం యొక్క రెండు కొసలని కలిపే సరళ రేఖని ‘జ్యా’ (chord) అంటారు. ఈ జ్యాలో సగభాగానికి (half-chord) కి sin(x) ప్రమేయానికి సంబంధం వుంది. వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం (radius) 1 అనుకుంటే ‘అర్థ జ్యా’ విలువే sin(x) అవుతుంది. X పెరుగుతుంటే ఈ ‘అర్థ జ్యా’ విలువ క్రమంగ ఎలా పెరుగుతుందో ఆర్యభట్టు ఓ పట్టిక రూపంలో వ్యక్తం చేశాడు.
పొడవుని కొలవడానికి units (ఏకాంకాలు) కావాలు. మీటర్లో, సెంటీమీటర్లో వాడడానికి బదులుగా ఆర్యభట్టు కోణాలనే వాడాడు. అది ఇలా చేశాడు.
వృత్త కేంద్రం చుట్టూ మొత్తం కోణం 360 డిగ్రీలు అని మనకి తెలుసు.
1 degree = 60 minutes కనుక
360 degrees = 360 X 60 = 21600 minutes.
ఒక విధంగా ఇది వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత అనుకోవచ్చు. చుట్టుకొలతకి వ్యాసార్థానికి మధ్య సంబంధం ఇది,
R = circumference/2pi
కనుక
R = 21600/(2pi) = 3438 minutes (సుమారు)
అంటే x అనే కోణానికి సంబంధించిన ‘అర్థ-జ్యా’ విలువ = R sin(x)
0 నుండి 90 డిగ్రీల వరకు కోణాన్ని 24 భాగాలు చేస్తాడు ఆర్యభట్టు.
90/24 =3.75 degrees కనుక, ఆ కోణాలు వరుసగా 0, 3.75, 7.5, 11.25 … ఇలా ఉంటాయి.
వీటి sin() విలువలు వరుసగా sin(0), sin(3.75), ఇలా ఇవ్వకుండా, పక్కపక్కనే వచ్చే sin(x) విలువల మధ భేదాలని మాత్రమే ఇస్తాడు. ఉదాహరణకి
R*(Sin(3.75) – sin(0))
R*(Sin(7.5) – sin(3.75))
R*(sin(11.25) – sin(7.5))
ఆధునిక కాల్కులేటర్ ఉపయోగించి పై రాశులని గణిస్తే,
R*(Sin(3.75) – sin(0))=224.85
R*(Sin(7.5) – sin(3.75))=223.89
R*(sin(11.25) – sin(7.5))= 221.97
ఆర్యభట్టు ఇచ్చిన విలువలు పై ఆధునిక విలువలతో బాగా సరిపోతున్నాయి. అయితే ఈ విలువలని ఆర్యభట్టు పైన చెప్పుకున్నట్టుగా అక్షరాలతో వ్యక్తం చేసి ఓ పద్య రూపంలో ప్రదర్శించడం విశేషం.
కన్నడ లిపిలో రాయబడ్డ ఈ వ్రాతపత్రిలో పదాలు –
మఖి (=225), భఖి (=224), ఫఖి (222), ధఖి (219)– ణఖి –ఞఖి – ఙఖి – హస్ఝ – స్కకి – కిష్గ – శ్ఘకి – కిఘ్వ – ఘ్లకి - కిగ్ర – హక్య – ధకి – కిచ – స్గ – ఝశ – ణ్వ – క్ల – ప్ట – ఫ – ఫ - చ
పైన ‘మఖి’ విలువ 225, ఇందాక గణించిన R*(Sin(3.75) – sin(0))=224.85 తో చక్కగా సరిపోతోంది.
అలాగే ‘భఖి’ విలువ 224, R*(Sin(7.5) – sin(3.75))=223.89 తో సరిపోతోంది.
ఈ విధంగా ఆర్యభట్టు sin(x) ప్రమేయాన్ని ఓ పట్టిక రూపంలో ఇచ్చాడు. ఆ రోజుల్లో జ్ఞానాన్ని ముఖతః నేర్చుకుని కంఠస్థం చేసేవారు కనుక, అంకెలని ఇలా పదాలుగాను పద్యాలుగాను వ్యక్తం చేసుకునేవారు.
ఆర్యభట్టు కనిపెట్టిన క్రీ.శ. 499 నాటి ఈ సైన్ పట్టిక గణిత చరిత్రలోనే మొట్టమొదటి సైన్ పట్టిక అని గణిత శాస్త్ర చారిత్రకులు అభిప్రాయపడుతున్నారు.
References:
1. R Narasimha, Sines in terse verse, Nature 414:851, 2001.
2. http://en.wikipedia.org/